Bewegende gemiddelde proses stilstaan

Kyk na die oneindige orde MA proses gedefinieer deur ytepsilonta (epsilon epsilon.), Waar a 'n konstante en die epsilonts is i. i.d. N (0, v) ewekansige veranderlike. Wat is die beste manier om dit te yt wys is stationaire Ek weet wat ek nodig het om te kyk na die kenmerkende wortels van die eienskappe polinoom en dan oordeel of hulle is buite die eenheidsirkel, maar wat is die beste manier om hierdie probleem te benader moet ek probeer herskryf die oneindige orde MA proses as 'n eindige orde AR proses of is dit makliker om die MA proses gevra Oktober 19 13 werk 21: 114,2 Lineêre Skryfbehoeftes Models vir tydreekse waar die ewekansige veranderlike die innovasie genoem omdat dit die deel van die waargeneem veranderlike wat is onvoorspelbaar gegewe die afgelope waardes. Die algemene model (4.4) aanvaar dat die opbrengs van 'n lineêre filter wat verander die afgelope innovasies, dit wil sê 'n lineêre proses. Dit lineariteit aanname is gebaseer op die Wolds ontbinding stelling (Wold 1938) wat sê dat 'n diskrete stilstaande kovariansie proses kan uitgedruk word as die som van twee ongekorreleerd prosesse, waar is suiwer deterministies en is 'n suiwer indeterministic proses wat geskryf kan word as 'n lineêre som van die innovasieproses: waar is 'n reeks in volgorde ongekorreleerd toevalsveranderlikes met 'n nul gemiddelde en 'n gemeenskaplike variansie. Toestand is wat nodig is vir stasionariteit. Die formulering (4.4) is 'n eindige reparametrization van die oneindige verteenwoordiging (4.5) - (4,6) met 'n konstante. Dit word gewoonlik geskryf in terme van die lag operateur gedefinieer deur, wat 'n korter uitdrukking gee: waar die lag operateur polinome en onderskeidelik bekend as die polinoom en die polinoom,. Ten einde parameter ontslag te vermy, aanvaar ons dat daar nie gemeenskaplike faktore tussen die en die komponente. Volgende, sal ons die plot van 'n geruime tyd reeks wat deur stilstaande modelle met die doel om die bepaling van die belangrikste patrone van hul tydelike evolusie bestudeer. Figuur 4.2 sluit twee reekse gegenereer uit die volgende skryfbehoeftes prosesse bereken deur middel van die genarma quantlet: Figuur 4.2: Tyd reeks wat deur modelle Soos verwag, sal die tyd reeks skuif om 'n konstante vlak sonder veranderinge in variansie as gevolg van die stilstaande eiendom. Verder hierdie vlak is, naby aan die teoretiese gemiddelde van die proses, en die afstand van elke punt om hierdie waarde is baie selde buite die grense. Verder is die evolusie van die reeks toon plaaslike afwykings van die gemiddelde van die proses, wat bekend staan ​​as die gemiddelde terugkeer gedrag wat die stasionêre tydreekse kenmerkend. Kom ons bestudeer met 'n paar detail die eienskappe van die verskillende prosesse, in die besonder, die outokovariansiefunksie wat die dinamiese eienskappe van 'n stogastiese stilstaande proses vang. Hierdie funksie is afhanklik van die eenhede van meet, sodat die gewone mate van die graad van lineariteit tussen veranderlikes is die korrelasiekoëffisiënt. In die geval van stilstaande prosesse, die outokorrelasie koëffisiënt te lag, deur aangedui, word gedefinieer as die korrelasie tussen en: So, die outokorrelasie funksie (ACF) is die outokovariansiefunksie gestandaardiseerde deur die variansie. Die eienskappe van die ACF is: Gegewe die eiendom simmetrie (4.10), is die ACF gewoonlik verteenwoordig deur middel van 'n staafgrafiek op die nonnegatieve lags dat die eenvoudige correlogram genoem. Nog 'n nuttige instrument om die dinamika van 'n stilstaande proses beskryf is die gedeeltelike outokorrelasie funksie (PACF). Die gedeeltelike outokorrelasie koëffisiënt te lag meet die lineêre verband tussen en aangepas vir die effek van die intermediêre waardes. Daarom is dit net die koëffisiënt in die lineêre regressiemodel: Die eienskappe van die PACF is soortgelyk aan dié van die ACF (4.8) - (4.10) en dit is maklik om te bewys dat (Box en Jenkins 1976). Soos die ACF, het die gedeeltelike outokorrelasie funksie nie afhanklik van die eenhede van meet en dit word voorgestel deur middel van 'n staafgrafiek op die nonnegatieve lags wat gedeeltelike correlogram genoem. Die dinamiese eienskappe van elke stilstaande model bepaal 'n spesifieke vorm van die correlograms. Daarbenewens kan dit aangetoon word dat, vir enige stilstaande proses, beide funksies, ACF en PACF, benadering tot nul as die lag streef na oneindig. Die modelle is nie altyd stilstaande prosesse, daarom is dit nodig eerste om die voorwaardes vir stasionariteit bepaal. Daar is subklasse van modelle wat spesiale eienskappe het so sal ons hulle afsonderlik bestudeer. Dus, wanneer en dit is 'n wit geraas proses. wanneer dit is 'n suiwer bewegende gemiddelde proses van orde. , En wanneer dit is 'n suiwer outoregressiewe proses van orde. . 4.2.1 White Noise Proses Die eenvoudigste model is 'n wit geraas proses, waar is 'n reeks van ongekorreleerd nul beteken veranderlikes met 'n konstante stryd. Dit word aangedui deur. Hierdie proses is stilstaande as sy variansie eindig, aangesien gegee dat: verifieer toestande (4.1) - (4,3). Daarbenewens is ongekorreleerd met verloop van tyd, sodat sy outokovariansiefunksie is: Figuur 4.7 toon twee gesimuleerde tydreekse gegenereer uit prosesse met 'n nul gemiddelde en parameters en -0,7, onderskeidelik. Die outoregressiewe parameter meet die volharding van gebeure in die verlede in die huidige waardes. Byvoorbeeld, as 'n positiewe (of negatiewe) skok raak positief (of negatief) vir 'n tydperk van die tyd wat langer hoe groter die waarde van. Wanneer die reeks beweeg meer rofweg rondom die gemiddelde te danke aan die afwisseling in die rigting van die effek van, dit wil sê 'n skok dat 'n positiewe in n oomblik raak, het die negatiewe uitwerking op, positiewe in. Die proses is altyd omkeerbare en dit stilstaan ​​wanneer die parameter van die model is beperk om te lieg in die streek. Om die stilstaande toestand bewys, skryf eers ons die in die bewegende gemiddelde vorm deur rekursiewe vervanging van in (4.14): Figuur 4.8: Bevolking correlograms vir prosesse wat is, is 'n geweegde som van verlede innovasies. Die gewigte is afhanklik van die waarde van die parameter: wanneer, (of), die invloed van 'n gegewe innovasie toeneem (of afneem) deur die tyd. Neem verwagtinge te (4.15) ten einde die gemiddelde van die proses te bereken, kry ons: Gegewe dat die resultaat is 'n bedrag van oneindige terme wat konvergeer vir alle waarde van slegs indien, in welke geval. 'N Soortgelyke probleem blyk wanneer ons bereken die tweede oomblik. Die bewys kan vereenvoudig die veronderstelling dat, dit is,. Dan, afwyking is: Weereens, die variansie gaan na oneindig behalwe, in welke geval. Dit is maklik om te verifieer dat beide die gemiddelde en variansie ontplof wanneer daardie toestand nie die geval is in die hande. Die outokovariansiefunksie van 'n stilstaande proses is dus die outokorrelasie funksie vir die stilstaande model is: Dit is die correlogram toon 'n eksponensiële verval met positiewe waardes altyd as positief en met negatiewe-positiewe ossillasies as negatief (sien figuur 4.8). Verder het die tempo van verval afneem soos toeneem, so hoe groter is die waarde van die sterker die dinamiese korrelasie in die proses. Ten slotte, daar is 'n donker in die gedeeltelike outokorrelasie funksie by die eerste lag. Figuur 4.9: Bevolking correlograms vir prosesse Dit kan aangetoon word dat die algemene proses (Box en Jenkins 1976): stilstaan ​​slegs indien die wortels van die karakteristieke vergelyking van die polinoom leuen buite die eenheidsirkel. Die gemiddelde van 'n stilstaande model is. Is altyd omkeerbare vir enige waardes van die parameters. Its ACF gaan na nul eksponensieel toe die wortels van sy regte of met sinus-cosinus golf skommelinge wanneer hulle complex. Its PACF het 'n donker by die lag, dit is, '.Some voorbeelde van correlograms vir meer komplekse modelle, soos die, kan gesien word in figuur 4.9. Hulle is baie soortgelyk aan die patrone wanneer die prosesse reële wortels, maar neem 'n heel ander vorm wanneer die wortels is kompleks (sien die eerste paar grafiese van figuur 4.9). 4.2.4 outoregressiewe bewegende gemiddelde Model Die algemene (eindige-orde) outoregressiewe bewegende gemiddelde model van bestellings, is: Wat is stilstaande outoregressiewe (AR), bewegende gemiddelde (MA) en stilstaande gemengde (ARMA) verwerk Skryfbehoeftes outoregressiewe (AR) proses Skryfbehoeftes outoregressiewe (AR) prosesse teoretiese outokorrelasiefunksies (ACFs) wat verval na nul, in plaas van af te sny aan nul. Die outokorrelasie koëffisiënte kan wissel in teken gereeld, of wys 'n golf-agtige patroon, maar in alle gevalle, hulle stert af in die rigting van nul. In teenstelling hiermee, AR prosesse met orde p het teoretiese gedeeltelike outokorrelasiefunksies (PACF) wat roei aan nul nadat lag p. (Die lag lengte van die finale PACF piek is gelyk aan die AR einde van die proses, p.) Bewegende gemiddelde (MA) verwerk Die teoretiese ACFs van MA (bewegende gemiddelde) verwerk met orde q afgesny nul nadat lag Q, die MA orde van die proses. Maar hul teoretiese PACFs verval na nul. (Die lag lengte van die finale ACF piek is gelyk aan die MA einde van die proses, q.) Skryfbehoeftes gemengde (ARMA) proses Skryfbehoeftes gemengde (ARMA) prosesse wys 'n mengsel van AR en MA eienskappe. Beide die teoretiese ACF en die PACF stert af in die rigting van nul. Kopiereg 2016 Minitab Inc. Reserved.8.4 Moving gemiddelde modelle Eerder as om te gebruik afgelope waardes van die voorspelling veranderlike in 'n regressie, 'n bewegende gemiddelde model gebruik afgelope voorspelling foute in 'n regressie-agtige model. y c et theta e theta e kolle theta e, waar et is wit geraas. Ons noem dit 'n MA (Q) model. Natuurlik, ons het nie die waardes van et waarneem, so dit is nie regtig regressie in die gewone sin. Let daarop dat elke waarde van yt gesien kan word as 'n geweegde bewegende gemiddelde van die afgelope paar voorspel foute. Maar bewegende gemiddelde modelle moet nie verwar word met bewegende gemiddelde smoothing ons in Hoofstuk 6. 'n bewegende gemiddelde model bespreek word gebruik vir die voorspelling van toekomstige waardes, terwyl bewegende gemiddelde smoothing word gebruik vir die bepaling van die tendens-siklus van verlede waardes wees. Figuur 8.6: Twee voorbeelde van data uit bewegende gemiddelde modelle met verskillende parameters. Links: MA (1) met y t 20e t 0.8e t-1. Regs: MA (2) met y t e t-e t-1 0.8e t-2. In beide gevalle, is e t normaalverdeelde wit geraas met gemiddelde nul en variansie een. Figuur 8.6 toon 'n mate van data uit 'n MA (1) model en 'n MA (2) model. Die verandering van die parameters theta1, kolle, thetaq resultate in verskillende tyd reeks patrone. Soos met outoregressiemodelle, sal die afwyking van die term fout et net verander die skaal van die reeks, nie die patrone. Dit is moontlik om 'n stilstaande AR (p) model as 'n MA (infty) model skryf. Byvoorbeeld, met behulp van herhaalde vervanging, kan ons hierdie bewys vir 'n AR (1) model: begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 e et amp phi13y phi12e phi1 e et amptext einde verstande -1 Dit phi1 Dit 1, sal die waarde van phi1k kleiner te kry as k groter word. So uiteindelik kry ons yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, 'n MA (infty) proses. Die omgekeerde gevolg het as ons 'n paar beperkinge op te lê op die MA parameters. Toe die MA-model is omkeerbaar genoem. Dit wil sê, dat ons 'n omkeerbare MA (Q) proses as 'n AR (infty) proses kan skryf. Omkeerbare modelle is nie net om ons in staat stel om van MA modelle om modelle AR. Hulle het ook 'n paar wiskundige eienskappe wat maak dit makliker om te gebruik in die praktyk. Die inverteerbaarheid beperkings is soortgelyk aan die stasionariteit beperkings. Vir 'n MA (1) model: -1lttheta1lt1. Vir 'n MA (2) model: -1lttheta2lt1, theta2theta1 GT-1, theta1 - theta2 Dit 1. Meer ingewikkelde voorwaardes hou vir qge3. Weereens, sal R sorg van hierdie beperkings te neem wanneer die beraming van die models. ARMA Unplugged Dit is die eerste inskrywing in ons reeks van Unplugged tutoriale, waarin delf ons in die besonderhede van elk van die tydreeks modelle waarmee jy reeds vertroud, met die klem die onderliggende aannames en ry huis die intuïsies agter hulle. In hierdie uitgawe, ons pak die ARMA model 'n hoeksteen in die tyd reeks modelle. In teenstelling met vroeër ontleding kwessies, sal ons begin hier met die proses definisie ARMA, stel die insette, uitsette, parameters, stabiliteit beperkings, aannames, en uiteindelik trek 'n paar riglyne vir die modelleringsproses. Agtergrond Per definisie, die motor-regressiewe bewegende gemiddelde (ARMA) is 'n stilstaande stogastiese proses bestaan ​​uit bedrae outoregressiewe Excel en bewegende gemiddelde komponente. Alternatiewelik, in 'n eenvoudige formulering: Aannames Kom ons kyk nader aan die formulering. Die ARMA proses is bloot 'n geweegde som van die verlede uitset waarnemings en skokke, met 'n paar sleutelaannames: Wat doen hierdie aannames beteken 'n stogastiese proses is 'n eweknie van 'n deterministiese proses dit beskryf die evolusie van 'n ewekansige veranderlike oor tyd. In ons geval, die ewekansige veranderlike is die ARMA proses net vang die korrelasie (dit wil sê outokorrelasie) tussen die waarnemings. In gewone woorde, die ARMA proses vat die waardes van die verlede waarnemings, nie hul kwadraat waardes of hul logaritmes, ens Hoër orde afhanklikheid mandate 'n ander proses (bv ARCH / GARCH, nie-lineêre modelle, ens). Daar is talle voorbeelde van 'n stogastiese proses waar afgelope waardes beïnvloed huidige kinders. Byvoorbeeld, in 'n verkope kantoor wat RFQs ontvang op 'n deurlopende basis, 'n paar realiseer as verkope-gewen het, 'n paar as verkope verlore, en 'n paar oorgespoel na die volgende maand. As gevolg hiervan, in enige gegewe maand, 'n paar van die verkope-gewen gevalle ontstaan ​​as RFQs of herhaal verkoop van die vorige maande. Wat is die skokke, innovasies of foute terme Dit is moeilike vraag, en die antwoord is nie minder verwarrend. Tog, kan gee dit 'n probeer: In eenvoudige woorde, die foutterm in 'n gegewe model is 'n catch-all emmer vir al die variasies wat die model verduidelik nie. Tog verloor Lets gebruik 'n voorbeeld. Vir 'n aandeelprys proses, is daar moontlik honderde faktore wat die prys vlak op / af te ry, insluitend: Dividende en Split aankondigings kwartaallikse verdienste-verslae samesmeltings en verkrygings (MampA) aktiwiteite Regte gebeure, bv die bedreiging van klasaksie regsgedinge. Ander 'n model, deur ontwerp, is 'n vereenvoudiging van 'n komplekse werklikheid, so wat ons verlaat buite die model outomaties bundel in die foutterm. Die ARMA proses veronderstel dat die kollektiewe effek van al die faktore tree min of meer soos Gaussiese ruis. Hoekom doen ons omgee afgelope skokke In teenstelling met 'n regressiemodel, kan die voorkoms van 'n stimulus (bv skok) 'n uitwerking op die huidige vlak, en moontlik toekomstige vlakke. Byvoorbeeld, 'n korporatiewe gebeurtenis (bv MampA aktiwiteit) beïnvloed die onder het maatskappy aandele prys, maar die verandering kan enige tyd neem om sy volle impak te hê, as deelnemers aan die mark te absorbeer / die beskikbare inligting te ontleed en daarvolgens reageer. Dit lei tot die vraag: moenie die afgelope waardes van die uitset reeds die skokke afgelope inligting JA, die skokke geskiedenis is reeds vir die afgelope uitset vlakke verantwoordelik. 'N ARMA model kan slegs voorgestel word as 'n suiwer motor-regressief (AR) model, maar die stoor vereiste van so 'n stelsel in oneindige. Dit is die enigste rede om die MA komponent sluit in: om te bespaar op die stoor en die formulering vereenvoudig. Weereens, moet die ARMA proses stilstaande wees vir die marginale (onvoorwaardelike) afwyking te bestaan. Let wel: In my bespreking hierbo, ek is nie 'n onderskeid tussen bloot die afwesigheid van 'n eenheid wortel in die karakteristieke vergelyking en die stasionariteit van die proses. Hulle is verwant, maar die afwesigheid van 'n eenheid wortel is nie 'n waarborg van stasionariteit. Tog, moet die eenheid wortel wees leuen in die eenheidsirkel om akkuraat te wees. Gevolgtrekking Kom herhaling wat ons tot dusver gedoen het. Eerste ondersoek ons ​​'n stilstaande ARMA proses, saam met die formulering daarvan, insette, aannames, en stoor vereistes. Volgende, ons het getoon dat 'n ARMA proses inkorporeer sy produksie waardes (outokorrelasie) en skokke dit vroeër ervaar in die huidige produksie. Ten slotte, ons het getoon dat die stilstaande ARMA proses produseer 'n tydreeks met 'n stabiele langtermyn gemiddelde en variansie. In ons data-analise, voordat ons voor 'n ARMA model, ons behoort aan die stasionariteit aanname en die beperkte geheue vereistes verifieer. In die geval van die datareeks vertoon 'n deterministiese tendens, moet ons eers verwyder (de-tendens), en gebruik dan die residue vir ARMA. In die geval van die datastel vertoon 'n stogastiese tendens (bv ewekansige loop) of seisoenaliteit, moet ons vermaak ARIMA / SARIMA. Ten slotte, kan die correlogram (dit wil sê ACF / PACF) gebruik word om die geheue vereiste van die model wat ons moet verwag nie ACF of PACF om vinnig verval na 'n paar lags meet. Indien nie, kan dit 'n teken van nie-stasionariteit of 'n langtermyn-patroon (bv ARFIMA) wees.